题目内容
【题目】如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
为
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）求直线
与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）连接
交
于点
，连接
，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得
，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明
，分别以
，
，
为
轴、
轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线
的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面
的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.
（1）连接交于点，连接，因为四边形
是矩形，所以点是的中点，
又点
为
的中点，所以是
的中位线，所以.
因为
平面，
平面，
所以
平面.
（2）由
，
，
，可得，
分别以，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系
，
则有
，
，
，
，
所以
，
，
，
设直线与平面所成角为
，平面的法向量为
，
则
，即
，令
，得
，
所以
.
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