Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别是F₁、F₂，点P是坐标平面内的一点，且|OP|=，=（点O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1交椭圆于不同的两点A，B．若△AOB面积为，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设P（x，y），F₁（c，0），F₂（c，0），由|PO|=，=可得x，y的方程，联立方程可求C，然后由可求a，进而可求b，及椭圆方程
（Ⅱ）将y=kx+1代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0&△＞0（*），结合方程的根与系数关系可求x₁+x₂，x₁x₂，代入弦长公式可得，再求出O到直线的距离d=，代入面积公式==可求k，从而可求直线方程
解答：解：（I）设P（x，y），F₁（c，0），F₂（c，0）
由|PO|=可得
由=可得
即
∴
∵
∴a²=3，b²=1
∴椭圆C的方程为
（Ⅱ）将y=kx+1代入椭圆方程，整理得（1+3k²）x²+6kx=0
则可得△＞0（*）
∴
∴     
O到直线的距离d=
∴==
∴或k=
所求l的方程为y=x+1或y=-x+1或y=+1或y=-
点评：本题主要考察 了由椭圆性质求解椭圆方程，直线与椭圆相交关系的应用，方程的根与系数关系、点到直线的距离公式及三角形的面积公式的应用．