Question

已知函数f(x)=cos2x+

3

sinx•cosx+1
（Ⅰ）求y=f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求y=f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为 sin（2x+

π

6

）+

3

2

，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可得到f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 0≤x≤

π

2

，求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，由此求得sin（2x+

π

6

）的最大值，进而得到f（x）的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos2x+

3

sinx•cosx+1=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+

3

2

=sin（2x+

π

6

）+

3

2

．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
∴f（x）的单调递增区间是[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（Ⅱ）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
∴当2x+

π

6

=

π

2

时，sin（2x+

π

6

）取得最大值为1，
故 y=f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值为

5

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性以及求三角函数的最值，属于中档题．