Question

在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上，半径为4的圆位于轴右侧，且与轴相切．[:]

（I）求圆的方程；

（II）若椭圆的离心率为，且左右焦点为．试探究在圆上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

Answer 1

解：（I）依题意，设圆的方程为．  ---------------------------1分

∵圆与轴相切，∴

∴圆的方程为            -----------------------------------4分

（II）∵椭圆的离心率为,  ∴,,  解得 -------6分

∴,   ∴，   ]∴恰为圆心 --------8分

（i）过作轴的垂线，交圆，则，符合题意；  --------10分

（ii）过可作圆的两条切线，分别与圆相切于点，

连接，则，符合题意．

综上，圆上存在4个点，使得为直角三角形． -------------------------12分