题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：(1+
1
9
)(1+
1
81
)…(1+
1
32n
)＜
e
(n∈N*，e为自然对数的底数）
（1）∵f′(x)=
2x
1+x2
+a，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=
2x
1+x2
+a=
ax2+2x+a
1+x2

①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若
a＜0
△≤0
得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0
∴
-1+
1-a2
a
＜x＜
-1-
1-a2
a

再令f'（x）＜0，可得x＞
-1-
1-a2
a
或x＜
-1+
1-a2
a

∴f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增，
在(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(
-1+
1-a2
a
，
-1-
1-a2
a
)上单调递增(-∞，
-1+
1-a2
a
)和(
-1-
1-a2
a
，+∞)上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x2）＜x，∴ln[（1+
1
9
）（1+
1
81
）…（1+
1
32n
）]=ln（1+
1
9
）+ln（1+
1
81
）+…+ln（1+
1
32n
）
＜
1
3
+
1
32
+…+
1
3n
=
1
3
(1-
1
3n
)
1-
1
3
=
1
2
（1-
1
3n
）＜
1
2
，∴（1+
1
9
）（1+
1
81
）…（1+
1
32n
）＜e
1
2
=
e
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求a的值；
（2）当a=1时，若直线l：y=kx-2与曲线y=f（x）在（-∞，0）上有公共点，求k的取值范围．
已知函数f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函数y=f（x）的最小值；
（2）证明：对任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数f（x）图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得点M处的切线l∥AB，则称直线AB存在“伴侣切线”．特别地，当x0=
x1+x2
2
时，又称直线AB存在“中值伴侣切线”．试问：当x≥e时，对于函数f（x）图象上不同两点A、B，直线AB是否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
已知函数f（x）=x2-bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y-1=0垂直，若数列{
1
f(n)
}的前n项和为Sn，则S2012的值为（　　）
已知函数f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．
已知函数f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调增区间；
（2）已知当x＞0时，函数在（0，
6
）上单调递减，在（
6
，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）记（2）中的函数图象为曲线C，试问是否存在经过原点的直线l，使得l为曲线C的对称轴？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

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