Question

已知向量=（cosωx-sinωx，sinωx），=（-cosωx-sinωx，2cosωx），设函数f（x）=•+λ（x∈R）的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（，1）
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若y=f（x）的图象经过点（，0）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用向量数量积运算性质，求函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f（x）化为y=Asin（ωx+φ）+k型函数，最后利用函数的对称性和ω的范围，计算ω的值，从而得函数的最小正周期；
（2）先将已知点的坐标代入函数解析式，求得λ的值，再求内层函数的值域，最后将内层函数看做整体，利用正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．
解答：解：（1）∵f（x）=•+λ=（cosωx-sinωx）×（-cosωx-sinωx）+sinωx×2cosωx+λ
=-（cos²ωx-sin²ωx）+sin2ωx+λ
=sin2ωx-cos2ωx+λ=2sin（2ωx-）+λ
∵图象关于直线x=π对称，∴2πω-=+kπ，k∈z
∴ω=+，又ω∈（，1）
∴k=1时，ω=
∴函数f（x）的最小正周期为=
（2）∵f（）=0
∴2sin（2××-）+λ=0
∴λ=-
∴f（x）=2sin（x-）-
由x∈[0，]
∴x-∈[-，]
∴sin（x-）∈[-，1]
∴2sin（x-）-=f（x）∈[-1-，2-]
故函数f（x）在区间[0，]上的取值范围为[-1-，2-]
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）+k型函数的图象和性质，向量数量积运算性质，复合函数值域的求法，整体代入的思想方法，属基础题