题目内容

设F1、F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点．
（1）设椭圆C上点到两点F1、F2距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段KF1的中点B的轨迹方程．
【答案】分析：（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标．
（2）设KF1的中点为B（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），把K的坐标代入椭圆方程，化简即得线段KF1的中点B的轨迹方程．
解答：解：（1）由于点在椭圆上，∴，又 2a=4，解得a=2，b=．
椭圆C的方程为，焦点坐标分别为（-1，0），（1，0）．
（2）设KF1的中点为B（x，y），则由中点坐标公式得点K（2x+1，2y），
把K的坐标代入椭圆中，得 ．
线段KF1的中点B的轨迹方程为  ．
点评：本题考查椭圆的简单性质、线段的中点公式，以及用代入法求轨迹方程．
练习册系列答案
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精英家教网设F1，F2分别是椭圆C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左，右焦点．
（1）当P∈C，且
PF1
•
PF
2=0，|PF1|•|PF2|=8时，求椭圆C的左，右焦点F1、F2．
（2）F1、F2是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q的作⊙F2切线QM，使得|QF1|=
2
|QM|（M是切点），如图．求动点Q的轨迹方程．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且椭圆上一点P(1，
3
2
)到F1，F2两点距离之和等于4．
（Ⅰ）求此椭圆方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
，0)，求k的取值范围．
精英家教网设F1、F2分别是椭圆C：
x2
6m2
+
y2
2m2
=1（m＞0）的左、右焦点．
（I）当p∈C，且
pF1
•
pF
2=0，|
pF1
|•|
pF
2|=4时，求椭圆C的左、右焦点F1、F2的坐标．
（II）F1、F2是（I）中的椭圆的左、右焦点，已知⊙F2的半径是1，过动点Q作的切线QM（M为切点），使得|QF1|=
2
|QM|，求动点Q的轨迹．
设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的焦点，若椭圆C上存在点P，使线段PF1的垂直平分线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
（2013•肇庆二模）设F1，F2分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(
2
2
，
3
2
)到F1，F2两点距离之和等于2
2
，写出椭圆C的方程；
（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF1的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPN，kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

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