Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）已知在定义域上为减函数，若对任意的，不等式为常数）恒成立,求的取值范围.

Answer 1

【答案】解：（1）因为是奇函数，所以=0，

即………………………3

（2）由（1）知，………………………5

设 ，则.

因为函数y=2在R上是增函数且， ∴>0.

又>0 ，∴>0，即，

∴在上为减函数.另法：或证明f′(x)0………………………9

（3）因为是奇函数，从而不等式

等价于，………………………3

因为为减函数，由上式推得．即对一切有，

从而判别式………………………13

【解析】

定义域为R的奇函数，得b=1，在代入1，-1，函数值相反得a;

,通常用函数的单调性转化为自变量的大小关系。

（1） 是奇函数， ，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

即 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

（2）由（1）知

由上式易知在R上为减函数。 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

又因为为奇函数，从而不等式，

等价于┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分

为减函数 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

即对一切都有┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分

┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分