题目内容

函数y=sin2x-cos2x （0≤x≤
π
2
）的值域是
[-1，
2
]
[-1，
2
]
．
分析：将函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由x的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质得出正弦函数的值域，即可确定出函数的值域．
解答：解：y=sin2x-cos2x=
2
sin（2x-
π
4
），
∵0≤x≤
π
2
，∴-
π
4
≤x≤
3π
4
，
∴-
2
2
≤sin（2x-
π
4
）≤1，即-1≤
2
sin（2x-
π
4
）≤
2
，
则函数的值域为[-1，
2
]．
故答案为：[-1，
2
]
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．
练习册系列答案
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设定义在区间(0，
π
2
)上的函数y=sin2x的图象与y=
1
2
cosx图象的交点横坐标为α，则tanα的值为
15
15
15
15
．
给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
 

①函数y=sin(2x+
π
6
)的图象可由函数y=sin2x的图象向左平移
π
6
单位得到；
②△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知A=60°，a=7，则b+c不可能等于15；
③若函数f（x）的导数为f'（x），f（x0）为f（x）的极值的充要条件是f'（x0）=0；
④在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象只有一个公共点．
给出下列命题：
①函数y=sin（
2
3
x+
7π
2
）是偶函数；
②函数y=2|x|的最小值是1；
③函数y=ln（x2+1）的值域是R；
④函数y=sin2x的图象向左平移
π
4
个单位，得到y=sin（2x+
π
4
）的图象
⑤函数f（x）=2x-x2只有两个零点；
其中正确命题的序号是
①②⑤
①②⑤
．
把函数y=sin2x的图象沿 x轴向左平移
π
6
个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）后得到函数y=f（x）图象，对于函数y=f（x）有以下四个判断：
①该函数的解析式为y=2sin（2x+
π
6
）；  
②该函数图象关于点（
π
3
，0）对称；　
③该函数在[0，
π
6
]上是增函数；
④函数y=f（x）+a在[0，
π
2
]上的最小值为
3
，则a=2
3
．
其中，正确判断的序号是
②④
②④
．
函数y=sin2x的图象在点P(
π
6
，
1
4
)处的切线的斜率是
3
2
3
2
．

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