Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）若A₁C₁的中点为O₁，求异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）先设出棱A₁A的长，求出长方体的体积和被截的几何体的体积，根据条件建立等量关系，求出所求；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角），在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．

解答：解：（1）设A₁A=h，由题设VABCD-A1C1D1=VABCD-A1B1C1D1-VB-A1B1C1=10，
得SABCD×h-

1

3

×S△A1B1C1×h=10，
即2×2×h-

1

3

×

1

2

×2×2×h=10，解得h=3．
故A₁A的长为3．（6分）
（2）因为在长方体中A₁D₁∥BC，
所以∠O₁BC即为异面直线BO₁与A₁D₁所成的角（或其补角）．（8分）
在△O₁BC中，计算可得O1B=O1C=

11

，
则∠O₁BC的余弦值为

11

11

，
故异面直线BO₁与A₁D₁所成角的大小为arccos

11

11

．（14分）

点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及利用余弦定理进行解题等，属于基础题．