题目内容

10．已知数列{an}中，a1=3，an=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$（n≥2，n∈N*），求数列{an}的通项公式．

分析 构造bn=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$，证明数列{bn}是以-$\frac{1}{2}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，求出其通项，即可求出数列{an}的通项公式．

解答 解：设bn=$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$
∵an=$\frac{3{a}_{n-1}-2}{{a}_{n-1}}$，
∴bn=$\frac{{a}_{n-1}-2}{2-2{a}_{n-1}}$
∴$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}$=-$\frac{1}{2}$
∵a1=3，
∴b1=-$\frac{1}{2}$，
∴数列{bn}是以-$\frac{1}{2}$为首项，-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴bn=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n}-2}{1-{a}_{n}}$=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴an=$\frac{{2}^{n+1}-1}{{2}^{n}-1}$．

点评 本题考查数列{an}的通项公式，考查构造法的运用，正确构造是关键．

练习册系列答案
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1．已知数列{an}中，a1=1，且$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{kn+b}{{2}^{n}}$+k（n∈N*）．
（Ⅰ）若k=0，b=1，求{an}的通项公式；
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18．在3与15之间插入两个数，使这四个数成等差数列，试求这两个数．
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4．已知X～N（4，1），则P（1＜X＜5）的值为（　　）
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A．0.8301B．0.8400C．0.1574D．0.9759
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③若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）上单调递减；
④函数y=f（x）的图象是中心对称图形．
2．若直线y=kx-2与抛物线y2=3x交于A，B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．

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