Question

已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（0＜ω＜1，0≤ϕ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M（，0）对称．
（1）求ϕ，ω的值
（2）求f（x）的单调递增区间
（3）x∈[，]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意和诱导公式求出ϕ的值，再由余弦函数的对称中心求出ω的值；
（2）根据余弦函数的增区间，把整体代入求出x的范围，再表示成区间的形式；
（3）由x得范围求出的范围，再由余弦函数的性质求出最值．
解答：解：（1）∵f（x）=sin（ωx+ϕ）是R上的偶函数，
∴，k∈Z，且0≤ϕ≤π，则，
即f（x）=cos（ωx），
∵图象关于点M对称，
∴，k∈Z，且0＜ω＜1，∴，
（2）由（1）得，
由-π+2kπ≤≤2kπ且k∈Z得，，
∴函数的递增区间是：，
（3）∵x∈，∴∈，
当=0时，即x=0，函数f（x）的最大值为1，
当=时，即x=，函数f（x）的最小值为0．
点评：本题主要考查了余弦函数的奇偶性、单调性和最值问题，主要利用整体思想，属于中档题．