Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

，
（1）确定函数f（x）的解析式
（2）解不等式f（x-1）﹢f（x）＜0．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

，知

f(0)=0 f( 1 2 )= 2 5

，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=

x

1+x2

在（-1，1）是增函数，f（x）是奇函数，且f（x-1）﹢f（x）＜0，知f（x-1）＜-f（x）=f（-x），故-1＜x-1＜-x＜1，由此能解出不等式f（x-1）﹢f（x）＜0．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

，
∴

f(0)= a×0+b 1+02 =0 f( 1 2 )= 1 2 a+b 1+( 1 2 )2 = 2 5

，
解得a=1，b=0．
∴f（x）=

x

1+x2

．
（2）∵f（x）=

x

1+x2

在（-1，1）是增函数，f（x）是奇函数，
且f（x-1）﹢f（x）＜0，
∴f（x-1）＜-f（x）=f（-x），
∴-1＜x-1＜-x＜1，
解得0＜x＜

1

2

．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查不等式的解法．解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的单调性、奇偶性的灵活运用．