题目内容
已知抛物线C：y=ax2（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线C上一个动点，过点P且与抛物线C相切的直线记为L．（1）求F的坐标；
（2）当点P在何处时，点F到直线L的距离最小？
【答案】分析：（1）把抛物线方程整理成标准方程，进而可得焦点的坐标．
（2）设P（x，y）则y=ax2，根据y′=2ax，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．
解答：解：（1）抛物线方程为x2=
y，故焦点F的坐标为（0，
）．
（2）设P（x，y）则y=ax2
∵y′=2ax，∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax
∴切线L的方程是：y-y=k（x-x），即2axx-y-ax2=0
∴焦点F到切线L的距离d=
=
≥
当且仅当x=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小．
点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
（2）设P（x，y）则y=ax2，根据y′=2ax，判断在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax，进而可得切线方程和焦点F到切线L的距离，最后判断当且仅当x=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）．
解答：解：（1）抛物线方程为x2=
y，故焦点F的坐标为（0，
）．（2）设P（x，y）则y=ax2
∵y′=2ax，∴在P点处抛物线（二次函数）的切线的斜率k=2ax
∴切线L的方程是：y-y=k（x-x），即2axx-y-ax2=0
∴焦点F到切线L的距离d=
=
≥
当且仅当x=0时上式取“=”此时P的坐标是（0，0）
∴当P在（0，0）处时，焦点F到切线L的距离最小．
点评：本题主要考查了抛物线的应用及抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力．
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