题目内容

已知向量
a
+3
b
垂直于向量7
a
-5
b
，向量
a
-4
b
垂直于向量7
a
-2
b
，求向量
a
与
b
的夹角．
分析：由题意可得，
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
.
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
.
b
)=0
展开整理可得，2
a
•
b
=
b
2，代入可得 
a
2=
b
2，代入可得cosα，结合0°≤α≤180°可得
a
与
b
的夹角为60°，由正弦定理可得
sinB+sinC
b+c
=
sinA
a
∴sinB+sinC=2sinA；结合余弦定理及基本不等式可求．
解答：解：由题意可得，
(
a
+3
b
)•(7
a
-5
.
b
)=0
(
a
-4
b
)•(7
a
-2
.
b
)=0
，
即
7
a
2+16
a
•
b
-15
b
2=0
7
a
2-30
a
•
b
+8
b
2=0
 整理可得，2
a
•
b
=
b
2，代入可得 
a
2=
b
2
∴cosα=
a
•
b
|
a
|•|
b
|
=
1
2
|
b
|2
|
b
|2
=
1
2

∵0°≤α≤180°  所以
a
与
b
的夹角为600．
∵
sinB
b
=
sinC
c
=
sinA
a

∴
sinB+sinC
b+c
=
sinA
a
∴sinB+sinC=2sinA
且cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
(b+c)2-2bc-a2
2bc
=
300-2bc
2bc
=
300
2bc
-1=
150
bc
-1
又bc≤(
b+c
2
)2=100∴cosA≥
3
2
-1=
1
2

又0＜A＜π∴0＜A≤
π
3

∴sinB+sinC≤
3
点评：本题主要考查了向量的数量积得性质得应用，正弦定理与余弦定理的综合应用，基本不等式在求解最值中的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量a=(
3
，1)，b=(0，1)，c=(k，
3
)，若
a
+2
b
与
c
垂直，则k=（　　）
已知向量
a
=(3，2)，
b
=(2，n)，若
a
与
b
垂直，则n=（　　）
已知向量
a
=（1，2），
b
=（-4，3）．
（1）求向量
a
，
b
的夹角的余弦值；
（2）k为何值时，向量k
a
+
b
与
a
-3
b
平行？
（3）k为何值时，向量k
a
+
b
与
a
-3
b
垂直？
已知向量
a
+3
b
垂直于向量7
a
-5
b
，向量
a
-4
b
垂直于向量7
a
-2
b
，求向量
a
与
b
的夹角．

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