题目内容

双曲线中心在原点，一条渐近线方程为 $数学公式$ ，准线方程为 $数学公式$ ．
（1）求双曲线方程；
（2）若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点，求k范围．

解：（1）设双曲线方程为 $\text{[math]}$
由准线方程知 $\text{[math]}$
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x₀，y₀）
设MN的方程为 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$
得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
又Q（x₀，y₀）在直线y=kx+1
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∪ $\text{[math]}$ ∪ $\text{[math]}$ ∪ $\text{[math]}$
分析：（1）根据渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，可假设方程为 $\text{[math]}$ ，再利用准线方程，可求双曲线方程；
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x₀，y₀），将MN的方程为 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，再利用Q（x₀，y₀）在直线y=kx+1，及判别式可求k范围．
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，有一定的综合性．