Question

双曲线中心在原点，一条渐近线方程为y=

2

x，准线方程为x=-

3

3

．
（1）求双曲线方程；
（2）若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点，求k范围．

Answer 1

分析：（1）根据渐近线方程为y=

2

x，可假设方程为x2-

y2

2

=λ(λ＞0)，再利用准线方程，可求双曲线方程；
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x₀，y₀），将MN的方程为y=-

1

k

x+n代入x2-

y2

2

=1，再利用Q（x₀，y₀）在直线y=kx+1，及判别式可求k范围．

解答：解：（1）设双曲线方程为x2-

y2

2

=λ(λ＞0)
由准线方程知

3

3

=

λ

3λ

⇒λ=1
∴双曲线方程为x2-

y2

2

=1
（2）设双曲线上关于y=kx+1对称二点为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中点为Q（x₀，y₀）
设MN的方程为y=-

1

k

x+n代入x2-

y2

2

=1
得(2-

1

k2

)x2+

2n

k

x-n2-2=0
由

2- 1 k2 ≠0 △= 4n2 k2 +4(2- 1 k2 )(n2+2)＞0

⇒n2＞

1

k2

-2且k≠±

2

2

又Q（x₀，y₀）在直线y=kx+1
∴

-2nk2

1-2k2

=

nk2

1-2k2

+1
∴n=

2k2-1

3k2

代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴k2＞

1

2

或 0＜k2＜

1

11

且k≠±

2

2

∴k∈(-∞，-

2

2

)∪(-

11

11

，0)∪(0，

11

11

)∪(

2

2

，+∞)

点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查对称性，有一定的综合性．