题目内容

证明对任意的正整数n,都有13+23+33+…+n3=.

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立.

(2)假设当n=k时命题成立，即有

13+23+33+…+k3=k2(k+1)2.

当n=k+1时，13+23+33+…+k3+(k+1)3

=k2(k+1)2+(k+1)3= (k+1)2(k2+4k+4)

= (k+1)2(k+2)2= (k+1)2［(k+1)+1］2.

∴当n=k+1时等式成立.

由(1)(2)可知，等式对任意正整数都成立.

练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）当b＞
1
2
时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．
（2011•武昌区模拟）设函数f（x）=x2+bln（x+1）．
（Ⅰ）若对定义域内的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求实数b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）的定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若b=-1，证明对任意的正整数n，不等式
n
k=i
f(
1
k
)＜1+
1
23
+
1
33
+…+
1
n3
成立．
已知函数f（x）=x2+aln（x+1）+b（a，b∈R）在点（0，f（0））的切线方程为y=-x．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[-
1
2
，1]时，f（x）的图象与直线y=-x+m有两个不同的交点，求实数m的取值范围；
（3）证明对任意的正整数n，不等式ln(
1
n
+1)＞
1
n2
-
1
n3
都成立．
设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）-ax在x=0处取得极值．
（1）求a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明对任意的正整数n，不等式nlnn≥（n-1）ln（n+1）．

（本小题满分14分）设函数f(x) = x2 + bln(x+1),

（1）若对定义域的任意x，都有f(x)≥f(1)成立，求实数b的值；

（2）若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数b的取值范围；

（3）若b = -1,，证明对任意的正整数n，不等式都成立

 

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