Question

已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.

Answer 1

（Ⅰ）所求双曲线的方程为:   
（Ⅱ）双曲线的渐进线方程为                     

（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,
, （1分）
解得 . 由双曲线定义得:
, 
所求双曲线的方程为:   
(法二) 因,由斜率之积为,可得解.
（Ⅱ）设,
(法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,，
的最大值为2,无最小值. 此时,
此时双曲线的渐进线方程为                     
(法二)设,.
(1)当时, ,
此时 .
(2)当,由余弦定理得:

 ,
,,综上,的最大值为2,但无最小值. (以下法一)