Question

【题目】若数列满足，且存在常数，使得对任意的都有，则称数列为“k控数列”．

（1）若公差为d的等差数列是“2控数列”，求d的取值范围；

（2）已知公比为的等比数列的前n项和为，数列与都是“k控数列”，求q的取值范围（用k表示）．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】

（1）根据“控数列”的定义得出，则由等差数列的通项公式可得对恒成立，求出公差的取值范围；

（2）由等比数列为“控数列”得，又是“控数列”得，分类讨论求出q的取值范围.

（1）因为公差为的等差数列是“2控数列”，所以，所以，

即，

所以

由得所以，又，所以，

由得：

当时，，所以；

当时，成立；

当时，，又，所以；

综上，，

所以的取值范围是；

（2）因为数列是公比为的等比数列且为“控数列”，所以，显然，故．

易知，要使是“控数列”，

则，

（ⅰ）当时，，

令，则递减，

所以，

所以，即．

要使存在，则得；

（ⅱ）当时，，

令，则递减，，

所以，又，所以，

要使存在，需，得

综上，当时，公比的取值范围是．