题目内容
已知椭圆C ：
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点，
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
，求点M的轨迹方程。
的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点，（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若
，求点M的轨迹方程。解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为
，
∵直线
与圆相切，
∴
，即
，
又
，即
，
，
解得
，
，
所以椭圆方程为
。
（Ⅱ）设
，
，
，
则
，即
，
则
，
，
即
，
∴
为定值
。
（Ⅲ）设
，其中
，
由已知
及点P在椭圆C上可得
，
整理得
。
，∵直线
与圆相切，∴
，即， 又
，即，，解得
，，所以椭圆方程为
。（Ⅱ）设
，，，则
，即，则
，，即
， ∴
为定值。（Ⅲ）设
，其中，由已知
及点P在椭圆C上可得，整理得
。
练习册系列答案
相关题目
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
+
=1，（a＞b＞0）与双曲4x2-
y2=1有相同的焦点，且椭C的离心e=
，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．