题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1，（a＞b＞0）与双曲4x²- $数学公式$ y²=1有相同的焦点，且椭C的离心e= $数学公式$ ，又A，B为椭圆的左右顶点，M为椭圆上任一点（异于A，B）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直MA交直x=4于点P，过P作直线MB的垂线x轴于点Q，Q的坐标；
（3）求点P在直线MB上射R的轨迹方程．

解：（1）由题意知，双曲线4x²- $\text{[math]}$ y²=1，∴c=1，
∵椭圆的离心率为e= $\text{[math]}$ ，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ （3分）
（2）设M（x，y），P（4，z），则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ．
设Q（x₀，0），由PQ⊥MB得： $\text{[math]}$ ，
又M在椭圆上，故x²=4- $\text{[math]}$ ，化简得 $\text{[math]}$ ，即Q（ $\text{[math]}$ ，0）（8分）
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，
设E为QB中点，则|HE|= $\text{[math]}$ |QB|= $\text{[math]}$ ，E（ $\text{[math]}$ ，0），
因此H点的轨迹方程为 $\text{[math]}$ （13分）
分析：（1）先确定双曲线中c的值，再利用椭圆的离心率，即可确定椭圆的方程；
（2）设M（x，y），P（4，z），则可得 $\text{[math]}$ ，利用PQ⊥MB及M在椭圆上，即可求Q的坐标；
（3）点P在直线MB上射影即PQ与MB的交点H，由QH⊥HB得△HQB为直角三角形，从而可求H点的轨迹方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查轨迹方程，解题的关键是确定椭圆中的几何量，利用垂直关系，建立等式，属于中档题．