Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=-

1

2

n2+kn（其中k∈N₊）且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，并求a_n；
（2）求数列{

9-2an

2n

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用前n项和Sn=-

1

2

n2+kn（其中k∈N₊）且S_n的最大值为8，先求出参数k．然后求出数列的通项公式．
（2）利用错位相减法求出数列的前n项和T_n．

解答：解：（1）将数列进行配方得和Sn=-

1

2

n2+kn=-

1

2

(n-k)2+

k2

2

，因为对应抛物线开口向下，且S_n的最大值为8，
所以

k2

2

=8，解得k2=16，k=4．即Sn=-

1

2

n2+4n．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

1

2

n2+4n-[-

1

2

(n-1)2+4(n-1)]=-n+

9

2

，
当n=1时，a1=S1=-

1

2

+4=

7

2

满足a_n，所以an=-n+

9

2

，n∈N•．为等差数列．
（2）数列bn=

9-2an

2n

=

9-2(-n+ 9 2 )

2n

=

2n

2n

=

n

2n-1

．
 则Tn=

1

20

+

2

2

+…+

n-1

2n-2

+

n

2n-1

，
所以2Tn=

1

21

+

2

22

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

所以两式相减得-Tn=

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n

2n

=1-(

1

2

)n-1-

n

2n

=1-

1+2n

2n-1

，
即Tn=

1+2n

2n-1

-1．

点评：本题主要考查利用错位相减法求数列的和．考查学生的运算能力，运算量较大．