题目内容
已知向量
=(2
sinx，cos2x)，
=(cosx，2)，函数f(x)=
•
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数f（x）向左平移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．求g（x）在[0，
]上的值域．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数f（x）的单调递减区间．
（2）将函数f（x）向左平移
| π |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
分析：（1）利用三角函数倍角公式、两角和的正弦公式及其单调性、向量的数量积即可得出；
（2）利用三角函数的平移、伸缩变换先求出其解析式，再利用其单调性即可求出值域．
（2）利用三角函数的平移、伸缩变换先求出其解析式，再利用其单调性即可求出值域．
解答：解：（1）∵f(x)=
•
=2
sinxcosx+2cos2x=
sin2x+cos2x+1=2sin(2x+
)+1，
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
解得kπ+
≤x≤kπ+
，（k∈Z）
∴函数f（x）减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈Z．
（2）∵将函数f（x）向左平移
得到y=2sin[2(x+
)+
]+1=2sin(2x+
)+1，
再将其横坐标缩短为原来的
，得到g（x）=2sin(4x+
)+1，
∵0≤x≤
，∴
≤4x+
≤
，
∴-
≤sin(4x+
)≤1．
即-
+1≤g（x）≤3．
∴g（x）在[0，
]上的值域为[-
+1，3]．
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数f（x）减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（2）∵将函数f（x）向左平移
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
再将其横坐标缩短为原来的
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
∵0≤x≤
| π |
| 4 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
∴-
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
即-
| 3 |
∴g（x）在[0，
| π |
| 4 |
| 3 |
点评：熟练掌握三角函数倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的图象的平移、伸缩变换及其单调性是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目