Question

已知椭圆C：的两个焦点是F₁(c,0)，F₂(c，0)(c>0)。
(I)若直线与椭圆C有公共点，求的取值范围；
(II)设E是(I)中直线与椭圆的一个公共点，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值时，椭圆的方程；
(III)已知斜率为k(k≠0)的直线l与(II)中椭圆交于不同的两点A，B，点Q满足   且，其中N为椭圆的下顶点，求直线l在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

(I).（II）.（III）直线纵截距的范围是.

试题分析：(I)由题意联立方程组
由得，
根据，即可得到的取值范围是.
（II）由椭圆的定义得,
及，得到当时，有最小值，确定得到椭圆的方程的方程.
（III）设直线方程为，
通过联立 ,整理得到一元二次方程，设，
应用韦达定理，结合得为的中点，，得到，可建立的方程， 从而由得到使问题得解.
试题解析：(I)由题意知.
由得，
所以，解得，
所以求的取值范围是.
（II）由椭圆的定义得,
因为，所以当时，有最小值，
此时椭圆的方程的方程为.
（III）设直线方程为，
由整理得，
化简得
设
则
由得为的中点，所以
因为，所以
即，化简得
又，
所以
又，所以
.