Question

设f（x）是偶函数，且当x≥0时，f(x)=

x(3-x)，0≤x≤3 (x-3)(a-x)，x＞3

．
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式；
（2）设函数f（x）在区间[-5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

分析：（1）设-3≤x＜0、x＜-3，利用偶函数性质及已知函数的解析式，即可求得结论；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，分类讨论，即可求得结论；

解答：解：（1）由题意得，当-3≤x＜0时，f（x）=f（-x）=（-x）（3+x）=-x（x+3），
同理，当x＜-3时，f（x）=f（-x）=（-x-3）（a+x）=-（x+3）（a+x），
所以，当x＜0时，f（x）的解析式为f（x）=

-x(x+3)，-3≤x＜0 -(x+3)(a+x)，x＜-3

；
（2）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[-5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，
①当a≤3时，f（x）在[0，

3

2

]上单调递增，在[

3

2

，+∞）上单调递减，
所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

；
②当3＜a≤7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，

3+a

2

]上单调递增，在[

3

2

，3]与[

3+a

2

，5]上单调递减，
所以此时只需比较f（

3

2

）=

9

4

与f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

的大小．
1°当3＜a≤6时，f（

3

2

）=

9

4

≥f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3

2

）=

9

4

，
2°当6＜a≤7时，f（

3

2

）=

9

4

＜f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，所以g（a）=f（

3+a

2

）=

(a-3)2

4

，
3°当a＞7时，f（x）在[0，

3

2

]与[3，5]上单调递增，在[

3

2

，3]上单调递减，
且f（

3

2

）=

9

4

＜f（5）=2（a-5），所以g（a）=f（5）=2（a-5），
综上所述，g（a）=

9 4 ，a≤6 (a-3)2 4 ，6＜a≤7 2(a-5)，a＞7

．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．