Question

已知椭圆C的对称轴在坐标轴上，且过点(2

2

，-

1

3

)，(

5

，

2

3

)．设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

分析：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点坐标代入可得方程组，解出即可求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x₀，y₀），由韦达定理及中点坐标公式即可求得x₀，代入直线方程即可求得y₀．

解答：解：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由题意得，

m(2 2 )2+n(- 1 3 )2=1 m( 5 )2+n( 2 3 )2=1

，即

8m+ 1 9 n=1 5m+ 4 9 n=1

，解得m=

1

9

，n=1，
所以椭圆的标准方程是：

x2

9

+y2=1．
联立方程组

x2 9 +y2=1 y=x+2

，消去y得，10x²+36x+27=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x₀，y₀），
则x1+x2=-

18

5

，x₀=

x1+x2

2

=-

9

5

，
所以y₀=x₀+2=

1

5

．
故线段AB中点坐标为（-

9

5

，

1

5

）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，韦达定理及中点坐标公式是解决该类题目的基础，要熟练掌握．