Question

函数f（x）=x³+（m-4）x²-3mx+（n-6）的图象关于原点对称．
（1）求m，n的值；
（2）证明：函数f（x）在[-2，2]上是减函数；    注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
（3）x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数，则可得f（0）=0 可求n，由f（-1）=-f（1）可求m
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）设-2≤x₁＜x₂≤2，利用函数单调性的定义，作差比较f（x₁），f（x₂）的大小即可判定
（法二）对函数求导f′（x）=3x²-12=3（x²-4），判定导数在[-2，2]上的符号即可判定函数的单调性
（3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减可知f（x）_min=f（2）=-16，由x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，只要-16≥（6-log₄a）•log_a4，可求a

解答：解：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）设-2≤x₁＜x₂≤2
则f（x₁）-f（x₂）=x₁³-12x₁-x₂³+12x₂
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）-12（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-12）
∵-2≤x₁＜x₂≤2
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²-12＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（法二）：∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4）≤0
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
∴f（x）_min=f（2）=-16，f（x）_max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，
：（1）由函数f（x）的图象关于原点对称可知函数为奇函数
∴f（0）=0，n=6
f（-x）=-f（x）对任意的x都成立可得f（-1）=-f（1）
∴m=4
（2）由（1）可得f（x）=x³-12x
（法一）设-2≤x₁＜x₂≤2
则f（x₁）-f（x₂）=x₁³-12x₁-x₂³+12x₂
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）-12（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-12）
∵-2≤x₁＜x₂≤2
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²-12＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（法二）：∵f′（x）=3x²-12=3（x²-4）≤0
∴函数f（x）在[-2，2]上单调递减
（3）由（2）可知函数f（x）在[-2，2]上单调递减
∴f（x）_min=f（2）=-16，f（x）_max=f（-2）=16
∵x∈[-2，2]时，不等式f（x）≥（n-log_ma）•log_ma恒成立，
∴-16≥（6-log₄a）•log_a4
∴log_a4≥8或log_a4≤-2
∴1＜a＜

4	2

或

1

2

≤a＜1

点评：本题主要考查了奇函数的性质的应用，函数的单调性的定义法及利用导数方法的判定，及函数恒成立与函数最值求解的相互转化，属于函数知识的综合应用．