Question

（2012•四川）设函数f（x）=2x-cosx，{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，则[f(a3)]2-a2a3=（　　）

• A．0
• B．

  1

  16

  π2
• C．

  1

  8

  π2
• D．

  13

  16

  π2

Answer 1

分析：由f（x）=2x-cosx，又{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，可求得f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=10a₃-cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），由题意可求得a₃=

π

2

，从而可求得答案．

解答：解：∵f（x）=2x-cosx，
∴f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=2（a₁+a₂+…+a₅）-（cosa₁+cosa₂+…+cosa₅），
∵{a_n}是公差为

π

8

的等差数列，
∴a₁+a₂+…+a₅=5a₃，由和差化积公式可得，
cosa₁+cosa₂+…+cosa₅
=（cosa₁+cosa₅）+（cosa₂+cosa₄）+cosa₃
=[cos（a₃-

π

8

×2）+cos（a₃+

π

8

×2）]+[cos（a₃-

π

8

）+cos（a₃+

π

8

）]+cosa₃
=2cos

(a3- π 4 )+(a3+ π 4 )

2

cos

(a3- π 4 )-(a3+ π 4 )

2

+2cos

(a3- π 8 )+(a3+ π 8 )

2

cos

(a3- π 8 )-(a3+ π 8 )

2

+cosa₃
=2cosa₃•

2

2

+2cosa₃•cos（-

π

8

）+cosa₃
=cosa₃（1+

2

+

2+ 2

），
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₅）=5π，
∴cosa₃=0，故a₃=

π

2

，
∴[f(a3)]2-a2a3
=π²-（

π

2

-

π

8

）•

π

2

=π²-

3π2

16

=

13

16

π2．
故选D．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，求得cosa₃=0，继而求得a₃=

π

2

是关键，也是难点，考查分析，推理与计算能力，属于难题．