题目内容

设数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，
Sn+1
an+1
-
Sn
an
=
1
2n
（n∈N*）．
（1）求证：Sn=（2-
1
2n-1
）an；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）证明：数列{an}（n∈N*）的前n项的和为Sn，满足a1=1，
Sn+1
an+1
-
Sn
an
=
1
2n
（n∈N*）．
所以
S2
a2
-
S1
a1
 =
1
2
，
 
S3
a3
-
S2
a2
=
1
4
；
S4
a4
-
S3
a3
=
1
8
；
…
Sn
an
-
Sn-1
an-1
=
1
2n-1
；
将n-1个式子相加可得：
Sn
an
-
S1
a1
=
1
2
+
1
22
+ 
1
23
+…+
1
2n-1
，
所以
Sn
an
=1+
1
2
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n-1
=
1-
1
2n-1
1-
1
2
=2-
1
2n-1
；
∴Sn=（2-
1
2n-1
）an；
（2）因为Sn=（2-
1
2n-1
）an；
所以Sn-1=（2-
1
2n-2
）an-1；（n≥2）
所以an=（2-
1
2n-1
）an-（2-
1
2n-2
）an-1；可得
1
2
an =an-1，
因为a2=2，当n=1时，满足数列{an}是等比数列公比为2．
所以an=2n-1．
练习册系列答案
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设数列{an} 前n项和Sn=
n(an+1)2
，n∈N*且a2=a，
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x
．
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nan
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