Question

若0＜β＜α＜

π

2

且cos(α+β)=

4

5

，sin(α-β)=

5

13

，那么cos2α的值是

33

65

．

Answer 1

分析：由α和β的范围，求出α+β及α-β的范围，再由cos（α+β）及sin（α-β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+β）及cos（α-β）的值，然后由2α=（α+β）+（α-β），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各种的值代入即可求出值．

解答：解：∵0＜β＜α＜

π

2

，
∴0＜α+β＜π，-

π

2

＜α-β＜

π

2

，
又cos(α+β)=

4

5

，sin(α-β)=

5

13

，
∴sin(α+β)=

3

5

，cos(α-β)=

12

13

，
则cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]
=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）
=

4

5

×

12

13

-

3

5

×

5

13

=

33

65

．
故答案为：

33

65

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键．