Question

已知函数f（x）=|x²-x|，若0＜a＜b＜1且f（a）=f（b），则

1

a

+

2

b

的最小值为（　　）

• A．3

  2

• B．2

  2

• C．3+2

  2

• D．2+2

  3

Answer 1

分析：作出函数f（x）=|x²-x|的图象，由0＜a＜b＜1且f（a）=f（b），可求得a+b=1，从而用基本不等式即可求得

1

a

+

2

b

的最小值．

解答：解：∵f（x）=|x²-x|=

x2-x，x≥1或x≤0 x-x2，0＜x＜1

，作图如下：由图可知，f（x）的对称轴为：x=

1

2

．
∵由0＜a＜b＜1且f（a）=f（b），
∴a+b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=1+2+

b

a

+

2a

b

≥3+2

2

（当且仅当b=

2

a=2-

2

时取“=“）．
∴

1

a

+

2

b

的最小值为3+2

2

．
故选C．

点评：本题考查带绝对值的函数，作出函数f（x）=|x²-x|的图象，结合已知求得a+b=1是关键，渗透化归思想与数形结合思想，属于中档题．