题目内容

设n∈N,求证:1+.

思路分析:把结论分解为两部分进行考查.

证明:设xn=1+,

则有Δxn=xn+1-xn=＞0,Δyn=yn+1-yn=＞0.

可知,数列{xn}与{yn}都是单调递增数列.

再运用综合法,先寻求两个数列的联系.

x1=y1=1,＜=,把这种关系概括为Δxn≥Δyn.

xn+1=x1+Δx1+Δx2+…+Δxn;yn+1=x2+Δy1+Δy2+…+Δyn.显然,xn+1≥yn+1,

即1+.

    深化升华 上述思考过程的前半部分运用了分析法,后半部分运用了综合法.

练习册系列答案
相关题目
已知二次函数，f（x）=x2+ax（a∈R）．
（1）若函数y=f(sinx+
3
cosx)(x∈R)的最大值为
16
3
，求f（x）的最小值；
（2）当a=2时，设n∈N*，S=
n
f(n)
+
n+1
f(n+1)
+…+
3n-1
f(3n-1)
+
3n
f(3n)
，求证：
3
4
＜S＜2；
（3）当a＞2时，求证f（sin2xlog2sin2x+cos2xlog2cos2x）≧1-a，其中x∈R，x≠kπ且x≠kπ+
π
2
（k∈z）
已知数列{an}中，a1=2，a2=3，其前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+1（n≥2，n∈N*）．
（Ⅰ）求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2n•an，求数列{bn}的前n项和Tn；
（Ⅲ）设cn=4n+(-1)n-1λ•2an（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，有cn+1＞cn恒成立．
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=（1+λ）-λan，其中λ为常数，且λ≠-1，0，n∈N+
（1）证明：数列{an}是等比数列．
（2）设数列{an}的公比q=f（λ），数列{bn}满足b1=
1
2
，bn=f（bn-1）（n∈N+，n≥2），求数列{bn}的通项公式．
（3）设λ=1，Cn=an(
1
bn
-1)，数列{Cn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，2≤Tn＜4．
（2013•闸北区一模）若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常数），则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．如：若cn=
4n-1，当n为奇数时
4n+9，当n为偶数时.
则{cn}是公差为8的准等差数列．
（1）求上述准等差数列{cn}的第8项c8、第9项c9以及前9项的和T9；
（2）设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N*，都有an+an+1=2n．求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式；
（3）设（2）中的数列{an}的前n项和为Sn，若S63＞2012，求a的取值范围．

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