Question

若直线xcosθ+ysinθ-1=0与圆(x-1)2+(y-sinθ)2=

1

16

相切，且θ为锐角，则这条直线的斜率是（　　）

• A、-

  3

  3

• B、-

  3

• C、

  3

  3

• D、

  3

Answer 1

分析：由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d，让d等于半径1，得到关于cosθ的方程，求出方程的解即可得到cosθ的值，然后根据θ为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出θ的值，然后把θ代入-

cosθ

sinθ

中即可求出直线的斜率．

解答：解：根据圆的方程(x-1)2+(y-sinθ)2=

1

16

，得到圆心坐标（1，sinθ），半径r=

1

4

，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d=

|cosθ+sin2θ-1|

cos2θ+sin2θ

=r=

1

4

化简得：-cosθ+cos²θ=

1

4

，即（2cosθ-1）²=0，解得：cosθ=

1

2

，
由θ为锐角，得到θ=

π

3

，则直线的斜率k=-

cosθ

sinθ

=-cotθ=-cot

π

3

=-tan

π

6

=-

3

3

．
故选A．

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，掌握根据直线方程求直线斜率的方法，是一道综合题．