Question

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b+1，当x∈[b，a]时，函数f（x）的图象关于y轴对称，数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=f（n）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

2n

，T_n=b₁+b₂+…+b_n，若T_n＞m，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得a=1，b=-1，从而得S_n=n²，于是可求得a₁及a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2），观察即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）得b_n=

2n-1

2n

，利用错位相减法可求得T_n=3-

2n+3

2n

．设g（n）=

2n+3

2n

，n∈N₊，可求得

g(n+1)

g(n)

＜1，即g（n）=

2n+3

2n

（n∈N₊）随n的增大而减小，于是g（n）≤g（1），由T_n＞m即可求得m的取值范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴a-1=0，且a+b=0，解得a=1，b=-1，
∴S_n=n²，即有a_n=S_n-S_n-1=2n-1（n≥2）．
a₁=S₁=1也满足，
∴a_n=2n-1．（5分）
（2）由（1）得b_n=

2n-1

2n

，
∴T_n=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，①

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-5

2n-1

+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，②
①-②得

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n-1

+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+（

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

）-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

，
∴T_n=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．（9分）
设g（n）=

2n+3

2n

，n∈N₊，
则由

g(n+1)

g(n)

=

2n+5 2n+1

2n+3 2n

=

2n+5

2(2n+3)

=

1

2

+

1

2n+3

≤

1

2

+

1

5

＜1，得g（n）=

2n+3

2n

（n∈N₊）随n的增大而减小，
∴g（n）≤g（1），
即T_n≥3-

2+3

2

=

1

2

．
又T_n＞m恒成立，
∴m＜

1

2

．（12分）

点评：本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，考查构造函数思想，考查函数单调性与最值，属于难题．