题目内容

平面上定点A、B距离为4，动点C满足|CA|-|CB|=3，则|CA|的最小值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
5

C
分析：设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，由题意可得双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1．再设C（m，n），得
|CA|²=（m+2）²+n²，化简得|CA|²= $\text{[math]}$ m²+4m+ $\text{[math]}$ ，最后根据m的取值范围结合二次函数的单调性，可求得|CA|的最小值．
解答：∵动点C满足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3
∴点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的靠近B的一支
设A在B的左边，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立坐标系，可得
A（-2，0），B（2，0），设双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）
∴a= $\text{[math]}$ ，c=2，得b= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1
设C（m，n），得|CA|²=（m+2）²+n²=（m+2）²+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ m²-1）= $\text{[math]}$ m²+4m+ $\text{[math]}$
∵C点横坐标m $\text{[math]}$ ，
∴当且仅当m= $\text{[math]}$ 时，|CA|²的最小值为 $\text{[math]}$ ，得|CA|的最小值是 $\text{[math]}$
故选：C
点评：本题给出动点C满足的轨迹方程，求点C到定点A距离的最小值，着重考查了轨迹与方程、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．