Question

【题目】如图，设椭圆（a＞1）.

（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；

（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ）先联立和，可得，，再利用弦长公式可得直线被椭圆截得的线段长；（Ⅱ）先假设圆与椭圆的公共点有个，再利用对称性及已知条件可得任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）设直线被椭圆截得的线段为，由得，

故，．

因此．

（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足

．

记直线，的斜率分别为，，且，，．

由（Ⅰ）知，，，

故，

所以．

由于，，得，

因此， ①

因为①式关于，的方程有解的充要条件是，

所以．

因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为，

由得，所求离心率的取值范围为．