Question

已知函数f（x）=
（1）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并加以证明；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）如果关于x的方程f（x）=kx³有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用单调函数的定义证明函数的单调性设0＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＞0，得到f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时利用分式的性质求值域因为0≤x＜x+2∴，即0≤f（x）＜1；
（3）当x=0时，f（x）=kx³，∴x=0为方程的解．当x＞0时，∴，当x＜0时，∴，即得到函数g（x）=，与函数h（x）=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，可得k的范围．
解答：解：（1）设0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=＞0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增．
（2）当x≥0时，f（x）=，
又，
∴，即0≤f（x）＜1；
当x＜0（x≠-2）时，f（x）=，
∴，由x＜0，得
y＜-1或y＞0．
∴f（x）的值域为（-∞，-1）∪[0，+∞）．
（3）当x=0时，f（x）=kx³，
∴x=0为方程的解．
当x＞0时，，∴kx²（x+2）=1，∴，
当x＜0时，，∴kx²（x+2）=-1，∴，
即看函数g（x）=
与函数h（x）=图象有两个交点时k的取值范围，应用导数画出g（x）的大致图象，
∴，
∴k＜．
点评：本题主要考查利用单调函数的定义证明函数的单调性，利用反函数与导数求函数的值域，解决此类问题的方法是熟悉单调函数的定义与求值域的方法．