题目内容
已知函数f（x）=x+
，且f（1）=2．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
| m | x |
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
分析：（1）根据f（1）=2，求得 m=1．再根据根据它的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=-f（x），
可得函数y=f（x）为奇函数．
（2）设1＜x1＜x2，计算求得f（x2）-f（x1）＞0，可得f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
可得函数y=f（x）为奇函数．
（2）设1＜x1＜x2，计算求得f（x2）-f（x1）＞0，可得f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
解答：解：（1）∵f(x)=x+
，且f（1）=2，∴1+m=2，解得 m=1．
函数y=f（x）为奇函数，
证：∵f(x)=x+
，定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
又f(-x)=(-x)+
=-(x+
)=-f(x)，所以y=f（x）为奇函数．
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
证明：设1＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=x2+
-(x1+
)=(x2-x1)(1-
)．
∵1＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，1-
＞0，
故f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
| m |
| x |
函数y=f（x）为奇函数，
证：∵f(x)=x+
| 1 |
| x |
又f(-x)=(-x)+
| 1 |
| -x |
| 1 |
| x |
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
证明：设1＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)=x2+
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x1 |
| 1 |
| x1x2 |
∵1＜x1＜x2，
∴x2-x1＞0，1-
| 1 |
| x1x2 |
故f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），
故f（x）在（1，+∞）上的单调递增．
点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断和证明，函数的单调性的判断和证明，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|