Question

已知函数f（x）=2cos²+sinx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（x+）+1，再结合正弦函数单调区间的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）根据题意，得到x+∈[，]，再结合正弦函数图象在区间[，]上的单调性，即可得到f（x）在区间[0，π]上的最大值与最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵cos²=（1+cosx），
∴f（x）=2cos²+sinx=sinx+cosx+1=sin（x+）+1  …（4分）
∴f（x）的最小正周期T=2π…（5分）
由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z，
得-+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[-+2kπ，+2kπ]，k∈Z．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得f（x）=sin（x+）+1．
∵x∈[0，π]，得 ≤x+，
∴当x+=时，即x=时，sin（x+）=1达到最大值，此时f（x）取得最大值为；
当x=π时，sin（x+）=-达到最小值，此时f（x）取得最小值为0． 
综上所述，得[f（x）]_max=f（）=，[f（x）]_min=f（π）=0．…（13分）
点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．