Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（x∈R，a≠0），-2是f（x）的一个零点，又f（x）在x=0处有极值，
（1）求c的值；
（2）当a＞0，b=3a时，求使{y|y=f（x），-3≤x≤2}⊆[-3，2]成立的实数a的取值范围；
（3）若f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反，求

b

a

的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f'（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=0有极值，
∴f'（0）=0
∴c=0
（2）b=3a，且-2是f（x）的一个零点，得f（-2）=-8a+12a+d=0，即d=-4a
∴f（x）=ax³+3ax²-4a，
f′（x）=3ax²+6ax=3ax（x+2）
由f'（x）=0得x=0或x=-2
当a＞0时

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	-	0	+
f（x）	-4a	↗	0	↘	-4a	↗	16a

所以当a＞0时，若-3≤x≤2，则-4a≤f（x）≤16a
所以 

a＞0 16a≤2 -4a≥-3

，即 0＜a≤

1

8

，故 a的取值范围是 (0，

1

8

]．
（3）f'（x）=3ax²+2bx，
由f'（x）=x（3ax+2b）=0，得x=0或 x=-

2b

3a

∵f（x）在区间（-6，-4）和（-2，0）上单调且单调性相反
∴-4≤-

2b

3a

≤-2，
故 3≤

b

a

≤6．