Question

已知点A、B、C是椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的三点，其中点A的坐标为(2

3

，0)，BC过椭圆M的中心，且

CA

•

CB

=0，2|

CA

|=|

CB

|．
（I）求椭圆M的方程；
（II）过点M（0，t）且不垂直于坐标轴的直线l与椭圆M交于两点E、F，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且|

DE

|=|

DF

|，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由2|

CA

|=|

CB

|，|BC|=2|AC|，且BC过椭圆M的中心O（0，0），知|

OC

|=|

AC

|．由点A的坐标为(2

3

，0)，且

CA

•

CB

=0，知∠ACB=90°，C（

3

，

3

），由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）过点M的直线l，与椭圆M交于两点E，F；当斜率k=0时，点M在椭圆内，则-2＜t＜2；当k≠0时，设过M点的直线l：y=kx+t与椭圆方程组成方程组，消去y，可得关于x的一元二次方程，由判别式△＞0，得不等式①，由x₁+x₂的值可得EF的中点H坐标，由|DP→|=|DQ→|，得由|

DE

|=|

DF

|，知DH⊥EF，则k_DH=-

1

k

，这样得等式②；由①②可得t的范围．

解答：解：（Ⅰ）如图，

∵2|

CA

|=|

CB

|，|BC|=2|AC|，且BC过椭圆M的中心O（0，0），
∴|

OC

|=|

AC

|．
∵点A的坐标为(2

3

，0)，且

CA

•

CB

=0，
∴∠ACB=90°，C（

3

，

3

），
∵a=2

3

，将a=2

3

及C点坐标代入椭圆方程得

3

12

+

3

b2

=1，∴b²=4，
∴椭圆E的方程为：

x2

12

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）如图，
由题意，知D（0，-2），∵M（0，t），
∴1°当k=0时，-2＜t＜2，
 2°当k≠0时，设l：y=kx+t，则

x2 12 + y2 4 =1 y=kx+t

，消去y，得（1+3k²）x²+6ktx+3t²-12=0，
由△＞0，可得t²＜4+12k²，①
设点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），且EF的中点为H（x₀，y₀），
则x₀=

x1+x2

2

=-

3kt

1+3k2

，
y0=kx0+t=

t

1+3k2

，
∴H（-

3kt

1+3k2

，

t

1+3k2

），
由|

DE

|=|

DF

|，∴DH⊥EF，则k_DH=-

1

k

，
∴

t 1+3k2 +2

- 3kt 1+3k2 -0

=-

1

k

，
∴t=1+3k²，②
∴t＞1，将①代入②，得1＜t＜4，∴t的范围是（1，4）；
综上，得t∈（-2，4）．

点评：本题考查了直线与椭圆知识的综合应用，以及向量在解析几何中的应用．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．用数形结合的方法比较容易理清思路，解得结果．