Question

已知直线l：y=kx-1与双曲线C：x²-y²=4
（1）如果l与C只有一个公共点，求k的值；
（2）如果l与C的左右两支分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，且|x1-x2|=2

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，求k的值．

Answer 1

（1）根据题意：

y=kx-1 x2-y2=4

消去y整理得（1-k²）x²+2kx-5=0，
①当1-k²≠0时，由题意可知，△=0，即4k²+20（1-k²）=0
∴k=±

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2

②当1-k²=0即k=±1时，方程（1-k²）x²+2kx-5=0，有一个根即直线与双曲线有一个公共点，满足条件
综上可得，k=±1，或k=±

5

2

（2）由直线l与C的左右两支分别相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，可得x₁＜0，x₂＞0
∵|x1-x2|=2

5

∴x2-x1=2

5

∵x2-x1=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( 2k 1-k2 )2-4• -5 1-k2

=2

5

整理可得k²（5k²-6）=0
∴k=0或k=±

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