Question

6．在平面直角坐标系中，以0为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐际系．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），圆0的极坐际方程为p=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）．
（1）将直线l与圆0的方程化为直角坐标方程，并证明直线l过定点P（$\frac{1}{2}$，1）；
（2）设直线1与圆0相交于A，B两点，求证：点P到A，B两点的距离之积为定值．

Answer 1

分析 （1）消去参数，能直线l的普通方程，把P（$\frac{1}{2}$，1）代入直线l的方程，能证明直线l过定点P（$\frac{1}{2}$，1）．由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出圆0的直角坐标方程．
（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t₁•t₂|，根据韦达定理，即可得到答案．

解答 解：（1）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$ （t为参数），
∴消去参数，得直线l的普通方程为2x-2$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$-1=0．
把P（$\frac{1}{2}$，1）代入直线l的方程，得：1-2$\sqrt{3}+2\sqrt{3}-1$=0，
∴直线l过定点P（$\frac{1}{2}$，1）．
∵圆0的极坐际方程为ρ=$\sqrt{2}$cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}cosθcos\frac{π}{4}$+$\sqrt{2}sinθsin\frac{π}{4}$=cosθ+sinθ，
∴ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
∴圆0的直角坐标方程为x²+y²-x-y=0．即$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$．
证明：（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}$，
得${t}^{2}+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}$=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．
∴点P到A，B两点的距离之积为定值．

点评 本题考查的知识点是直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中ρ，θ的几何意义，是解答本题的关键．