Question

在直角坐标系xOy中，椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，其中F₂也是抛物线C₂：y²=4x的焦点，点M为C₁与C₂在第一象限的交点，且|MF2|=

5

3

．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）且AF₂=2F₂B，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）根据右焦点F₂也是拋物线C₂：y²=4x的焦点，且|MF₂|=

5

3

，可求出F₂，根据抛物线的定义可求得点M的横坐标，并代入抛物线方程，可求其纵坐标；把点M代入椭圆方程，以及焦点坐标，解方程即可求得椭圆C₁的方程；
（II）设l的方程为x=ky+1，联立消去x，得到关于y的一元二次方程，△＞0，利用韦达定理结合条件：“AF₂=2F₂B”得到关于k的方程，即可求得k值，从而求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）依题意知F₂（1，0），设M（x₁，y₁）．由抛物线定义得1+x1=

5

3

，即x1=

2

3

．
将x1=

2

3

代入抛物线方程得y1=

2 6

3

（2分），进而由

( 2 3 )2

a2

+

( 2 6 3 )2

b2

=1及a²-b²=1解得a²=4，b²=3．故C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（Ⅱ）依题意，

a-c

a+c

=

1

3

，故直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x=ky+1代入

x2

4

+

y2

3

=1，整理得（3k²+4）y²+6ky-9=0（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由AF₂=2F₂B得y₁=-2y₂（8分）故

-y2=y1+y2= -6k 3k2+4 -2 y 2 2 =y1y2= -9 3k2+4

（10分）
消去y₂整理得

3

4

=

k2

3k2+4

解得k=±

2 5

5

．故所求直线方程为5x±2

5

y-5=0（12分）

点评：此题是个难题．考查抛物线的定义和简单的几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，以及直线和椭圆相交中的有关中点弦的问题，综合性强，特别是问题（2）的设问形式，增加了题目的难度，注意直线与圆锥曲线相交，△＞0．体现了数形结合和转化的思想方法．