Question

利用基本不等式求y=

x

x2+2

的最值？当0＜x＜1时，如何求y=

x+1

x2+2

的最大值．

Answer 1

分析：将y=

x

x2+2

，当x=0时，y=0，当x≠0时，y=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

，当x＞0时，0＜y≤

2

4

，当x＜0时，-

2

4

≤y＜0，可以得出-

2

4

≤y≤

2

4

，得出最值即可，同理对y=

x+1

x2+2

进行变行求最值．

解答：解：（1）当=0时，y=0，
当x≠0时，y=

x

x2+2

=

1

x+ 2 x

，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤

2

4

，
若x＜0时，-

2

4

≤y＜0，
综上得，可以得出-

2

4

≤y≤

2

4

，
∴y=

x

x2+2

的最值是-

2

4

与

2

4

．
（2）y=

x+1

x2+2

=

x+1

(x+1)2-2(x+1)+3

∵0＜x＜1
∴1＜x+1＜2
∴y=

x+1

x2+2

=

1

(x+1)-2+ 3 x+1

≤

1

2 3 -2

=

3 +1

4

等号当且仅当x=

3

-1成立．
综上，y=

x

x2+2

的最值是-

2

4

与

2

4

．当0＜x＜1时，y=

x+1

x2+2

的最大值是

3 +1

4

．

点评：本题通过构造形式用基本不等式求最值，训练答题都观察、化归的能力．