Question

14．$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）•…•（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）=2．

Answer 1

分析 通过将（1+$\frac{1}{2}$）•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）乘以$\frac{1-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$，对分子利用平方差公式化简可知（1+$\frac{1}{2}$）•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）=2（1-$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$），利用$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{{2}^{2n+1}}$=0计算即得结论．

解答 解：∵（1+$\frac{1}{2}$）•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）•…•（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）
=$\frac{（1-\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{2}）（1+\frac{1}{{2}^{2}}）•…•（1+\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）•…•（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）
=…
=2（1-$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$），
∴$\underset{lim}{n→∞}$（1+$\frac{1}{2}$）•（1+$\frac{1}{{2}^{2}}$）…（1+$\frac{1}{{2}^{2n}}$）
=$\underset{lim}{n→∞}$2（1-$\frac{1}{{2}^{2n+1}}$）
=2-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2}{{2}^{2n+1}}$
=2-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{{2}^{2n}}$
=2-0
=2，
故答案为：2．

点评 本题考查极限及其运算，对表达式的灵活变形、利用平方差公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．