Question

抛物线x²=4y的焦点为F，过点（0，﹣1）作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程，并说明曲线的类型．

Answer 1

考点：

圆锥曲线的轨迹问题．

专题：

计算题．

分析：

设直线：AB：y=kx﹣1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），求出F的坐标，利用AB和RF是平行四边形的对角线，对角线的中点坐标重合，直线与抛物线有两个交点，推出k的范围，整理出R的轨迹方程即可．

解答：

解：设直线：AB：y=kx﹣1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（x，y），由题意F（0，1）．

由 y=kx﹣1，x²=4y，

可得x²=4kx﹣4．

∴x₁+x₂=4k．

∵AB和RF是平行四边形的对角线，

∴x₁+x₂=x，y₁+y₂=y+1．

y₁+y₂=k（x₁+x₂）﹣2=4k²﹣2，

∴x=4k y=4k²﹣3，消去k，可得得x²=4（y+3）．

又∵直线和抛物线交于不同两点，

∴△=16k²﹣16＞0，

|k|＞1

∴|x|＞4

所以x²=4（y+3），（|x|＞4）

点评：

本题是中档题，考查曲线轨迹方程的求法，注意挖掘题目的条件，推出直线的斜率的范围（这是容易疏忽的地方），平行四边形的对角线的交点的特征，是解题的关键．