题目内容
18．
“城市呼唤绿化”，发展园林绿化事业是促进国家经济发展和城市建设事业的重要组成部分，某城市响应城市绿化的号召，计划建一如图所示的三角形ABC形状的主题公园，其中一边利用现成的围墙BC，长度为100$\sqrt{3}$米，另外两边AB，AC使用某种新型材料围成，已知∠BAC=120°，AB=x，AC=y（x，y单位均为米）．（1）求x，y满足的关系式（指出x，y的取值范围）；
（2）在保证围成的是三角形公园的情况下，如何设计能使公园的面积最大？最大值是多少？
分析 （1）根据题意，由余弦定理可得x2+y2-2xycos120°=30000，变形可得x2+y2+xy=30000，分析x、y的取值范围即可得答案；
（2）由（1）可得x2+y2+xy=30000，对其变形可得x2+y2+xy=30000≥3xy，从而得到三角形面积的最大值．
解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理，得AB2+AC2-2AB•ACcosA=BC2，
所以x2+y2-2xycos120°=30000，
即x2+y2+xy=30000，…（4分）
又因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜100$\sqrt{3}$，0＜y＜100$\sqrt{3}$．…（6分）
（2）由（1）x2+y2+xy=30000得30000≥2xy+xy=3xy，所以xy≤1000，
要使所设计能使公园的面积最大，即S=$\frac{1}{2}xysin120°$最大，所以S=$\frac{\sqrt{3}}{4}xy≤\frac{\sqrt{3}}{4}×10000=2500\sqrt{3}$，
当且仅当x=y=100时，上式不等式成立．…（11分）
故当AB，AC边长均为100米时，所设计能使公园的面积最大，最大为2500$\sqrt{3}$米2．
点评 本题考查基本不等式在最值问题中的运用，关键是利用余弦定理得到变量x、y之间的关系．
练习册系列答案
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| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{3}$ | C． | -3 | D． | -2 |
6．袋中有一个黄色球和一个蓝色球，从袋中任取一个球，则取到黄色球的概率是（ ）
| A． | $\frac{1}{6}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{2}$ |
7．积18×17×16×…×7可用排列数公式表示为（ ）
| A． | A${\;}_{18}^{12}$ | B． | A${\;}_{18}^{6}$ | C． | A${\;}_{18}^{7}$ | D． | A${\;}_{18}^{11}$ |