Question

在数列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求证：数列{a_n-2n+1}是等比数列；
（II）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

分析：（I）要证数列{a_n-2n+1}是等比数列，利用已知条件构造，只要证明

an+1- 2(n+1)+1

an-2n+1

=q即可
（II）由（I）可求a_n，通过比较a_n与a_n-1的大小研究数列的单调性，且通过且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，可知数列和的最小值

解答：解：（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴an=

1

3

(an-1+4n)，∴an+1-2(n+1)+1=

1

3

[an+4(n+1)]-2(n+1)+1=

1

3

an-

2n

3

+

1

3

=

1

3

(an-2n+1)，（4分）
∴a_n-2n+1是以-15为首项，

1

3

为公比的等比数列．（6分）
（II）∵an-2n+1=-15•(

1

3

)n-1，∴an=-15•(

1

3

)n-1+2n-1，
当n≥2时，an-an-1=2+10•(

1

3

)n-2＞0，
∴数列a_n是单调递增数列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）
∴当且仅当n=2时，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）

点评：本题利用定义构造证明等比数列，结合等比数列的定义，构造两项相除为定值的形式，做差法是比较两式大小的常用方法，通过研究数列的单调性，求数列和的最值问题，是数列问题的常考类型，属于综合性试题．